6.3 正态总体的抽样分布

单个正态总体的抽样分布 (Fisher 定理)

设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$,

$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本

$\overline{X},S^2$ 分别是样本均值与样本方差

则

1. $$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})，\mathrm{或}\mathrm{者}\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$
2. $$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$$
   • 注意区分$$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$$
3. $$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\text{ 与 }\overline{X}\text{ 相互独立}$$

推论

设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本, $\overline{X},S^2$ 分别是样本均值与样本方差, 则

$$\frac{\overline{X}-\mu }{{\displaystyle \frac{S}{\sqrt{n}}}}\sim t(n-1)$$

两个正态总体的抽样分布

设 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本,

$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2),(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m)$ 是来自总体 $Y$ 的一个简单随机样本,

且 $X,Y$ 相互独立

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i{S}_1^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2$$$$\overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{Y}_j{S}_2^2=\frac{1}{m-1}\sum _{j=1}^m{(Y_j-\overline{Y})}^2$$

则有

1. $$\frac{S_1^2}{S_2^2}/\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}\sim F(n-1,m-1)$$当 ${\sigma }_1={\sigma }_2$ 时,$$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)$$
2. 当 ${\sigma }_1={\sigma }_2=\sigma$ 时,$$\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}}}}\sim t(n+m-2)$$